দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি। অর্থাৎ $\mathrm{E}(\mathrm{x})=\overline{\mathrm{x}}$.

ব্যাখ্যা : মনে করি, x বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots . ., \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ মানগুলোর গণসংখ্যা যথাক্রমে $f_1, f_2, \ldots ., f_n$; যেখানে $f_1+f_2+\ldots \ldots+f_N=N$.

$\sum^{\mathrm{n}} f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}$

এখন, $x$ চলকের গাণিতিক গড়,

আবার, x চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা যথাক্রমে,

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)=\frac{f_1}{\mathrm{N}}, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)=\frac{f_2}{\mathrm{N}}, \ldots \ldots \ldots \ldots ., \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}$

অতএব, x চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা,

$\mathrm{E}(\mathrm{x}) =\mathrm{x}_1 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)+\mathrm{x}_2 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)+\mathrm{x}_3 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_3\right)+\ldots . .+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)$

$=\mathrm{x}_1 \frac{f_1}{\mathrm{N}}+\mathrm{x}_2 \frac{f_2}{\mathrm{N}}+\mathrm{x}_3 \frac{f_3}{\mathrm{N}}+\ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}=\frac{1}{\mathrm{N}}\left[f_1 \mathrm{x}_1+f_2 \mathrm{x}_2+\ldots .+f_{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right]$

সুতরাং দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি।

Chapter 3: গাণিতিক প্রত্যাশা — CQs