দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}m & n & p \\ 2 m^3+1 & 2 n^3+1 & 2 p^3+1 \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right]$

$\therefore \operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}m & n & p \\ 2 m^3+1 & 2 n^3+1 & 2 p^3+1 \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}m & n & p \\ 2 m^3 & 2 n^3 & 2 p^3 \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}m & n & p \\ 1 & 1 & 1 \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right| $

$\mathrm{=2 m n p\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m^2 & n^2 & p^2 \\ m & n & p\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & n & p \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right| }$

$\mathrm{ =-2 m n p\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & n & p \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & n & p \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right| }$

$ \mathrm{=(-2 m n p-1)\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ m & n & p \\ m^2 & n^2 & p^2\end{array}\right| }$

$\mathrm{=-(2 m n p+1)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ m-n & n-p & p \\ m^2-n^2 & n^2-p^2 & p^2\end{array}\right|}$

$=-(2 m n p+1)\left|\begin{array}{lc}m-n & n-p \\ m^2-n^2 & n^2-p^2\end{array}\right| $

$=-(2 m n p+1)(m-n)(n-p)\left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ m+n & n+p\end{array}\right| $

$ =-(2 m n p+1)(m-n)(n-p)(n+p-m-n) $

$=-(2 m n p+1)(m-n)(n-p)(p-m)$

$\therefore \quad \operatorname{det}(A)=-(2 m n p+1)(m-n)(n-p)(p-m)$

যেহেতু A ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স ।

সেহেতু $\operatorname{det} \mathrm{A}=0$

অর্থাৎ, $-(2 m n p+1)(m-n)(n-p)(p-m)=0$

বা, $(2 m n p+1)(m-n)(n-p)(p-m)=0$

হয়, $2 \mathrm{mnp}+1=0$

বা, $2 \mathrm{mnp}=-1$

অথবা, $\mathrm{m}-\mathrm{n}=0$

বা, $\mathrm{m}=\mathrm{n}$

অথবা, $\mathrm{n}-\mathrm{p}=0$

বা, $\mathrm{n}=\mathrm{p}$

অথবা, $\mathrm{p}-\mathrm{m}=0$

বা, $\mathrm{p}=\mathrm{m}$

$ \therefore m n p=-\frac{1}{2}$

$ \therefore m=n=p$

সুতরাং, mnp $=-\frac{1}{2}$ অথবা $m=n=p$. (দেখানো হলো).

Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক — CQs