দেওয়া আছে,

$f(\theta)=\sin \theta$

$ \therefore f^{\prime}(\theta)=\cos \theta $

আবার, $ x=5 f^{\prime}(\theta) $

বা, $ x=5 \cos \theta $

বা, $ x^2=5^2 \cos ^2 \theta \ldots . (1)$ [বর্গ করে]

এবং $\mathrm{y}=5 f(\theta)$

বা, $y=5 \sin \theta$

বা, $y^2=5^2 \sin ^2 \theta \ldots \ldots . .(2)$ [বর্গ করে]

(1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$x^2+y^2=5^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)$

বা, $x^2+y^2=5^2$ ........ (3)

$\therefore y=\sqrt{5^2-x^2}$

$\therefore$ (3) নং বৃত্ত এবং $x = 3$ রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল $=2 \int_3^5 y d x $

$= 2 \int_3^5 \sqrt{5^2-x^2} d x $

$= 2\left[\frac{x \sqrt{5^2-x^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{5}\right]_3^5$

$\left[\because \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]$

$=2\left[\left(\frac{5 \sqrt{5^2-5^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin ^{-1} \frac{5}{5}\right)\right.$

$\left.-\left(\frac{3 \sqrt{5^2-3^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}\right)\right]$

$=2\left[0+\frac{25}{2} \times \frac{\pi}{2} \frac{12}{2}-\frac{25}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{5}\right] $

$=\frac{25 \pi}{2}-25 \sin ^{-1} \frac{3}{5}-12 $

$ =25\left\{\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right\}-12$

$\therefore$ ক্ষুদ্রতম অথশের ক্ষেত্রফল $=25\left\{\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right\}-12$ বর্গ একক

Higher Math 1st Paper — Board CQs